1. مفاهیم اولیه منطق فازی

فازی در لغت به معنای نامفهوم و نامشخص است و روابط بین دقت و حقیقت یا معنا را با توابع ریاضی بیان می‌کند. این بخش به توضیحات کیفی و مقدماتی از منطق فازی اختصاص دارد. بسط رسمی نظریه‌ی مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم با کار جرج کانتور به عنوان یکی از خلاق‌ترین ریاضیدانان تاریخ آغاز شد. مجموعه‌های کانتور، از نوع قطعی هستند و در آن‌ها هر عنصر یا متعلق به یک مجموعه است و یا نیست. پس در اینجا بین عناصری که عضو یک مجموعه هستند و آن‌هایی که نیستند یک خط تفکیک‌کننده ترسیم می‌شود. محدوده‌ی این مجموعه ثابت بوده و به خوبی و روشنی تعریف می‌شود؛ درحالی که امور واقعی بیشتر از آنکه قطعی باشند، فازی هستند.
یک توده از دانه‌های شن را درنظر بگیرید. یک دانه شن بردارید و توده همچنان باقی است. دانه‌ی دیگری بردارید و این فرایند را تکرار نمایید. در نهایت۱۰ دانه شن باقی می‌ماند؛ سپس نه تا؛ بعد هشت و الی آخر. وقتی که یک دانه باقی ماند، چه بر سر توده می‌آید. آیا هنوز می‌توان گفت یک توده است؟ وقتی که آخرین دانه برداشته می‌شود و چیزی باقی نمی‌ماند، آیا توده از توده بودن باز می‌ایستد؟ در مورد توده یک عدد طبیعی معین n انتخاب می‌شود. اگر تعداد دانه‌های شن بزرگ‌تر یا مساوی n باشد، دانه‌های شن تشکیل یک توده می‌دهند. حال آیا۱n- دانه شن دیگر، یک توده را تشکیل نمی‌دهند؟ علاوه برآن چگونه عدد n انتخاب می‌شود؟ ۱۰۰، ۱۰۰۰ یا ۱۰۰۰۰۰۰ یا بیشتر؟ عقل سلیم حکم می‌کند که مفهوم توده مبهم است؛ بنابراین ابزاری که بتواند با ابهام مواجه شود مورد نیاز است. مفهوم مجموعه‌ی فازی، به عنوان تعمیم مجموعه‌های کانتور، چنین ابزاری را دراختیار ما قرار می‌دهد.

مفهوم منطق فازی اولین بار در پی تنظیم نظریه‌ی مجموعه‌های فازی در مقاله‌ای تحت عنوان “مجموعه‌های فازی” به وسیله‌ی پروفسور لطفی‌زاده در سال ۱۹۶۵در صحنه‌ی محاسبات نوظاهر شد.
طبق تعریف فرهنگ‌هاو زبان‌های محاوره‌ای مختلف، کلمات فازی: مبهم، مشکل، نامعین، نادقیق و قیود آن‌ها، در معنا و مفهوم، کم و بیش ارتباط نزدیکی به هم دارند. ناتوانی مجموعه‌های کلاسیک در بیان کمیت‌ها و مفاهیم نادقیق همچون کوچکی، بزرگی، ارزانی، گرانی، جوانی، پیری و … که در هر سیستم دارای معنی خاص هستند، باعث شد تا نظریه‌یمجموعه‌های فازی قدم به میدان بگذارد. این نظریه یک قالب جدید ریاضی برای صورت‌بندی و تجزیه و تحلیل این مفاهیم و ویژگی‌ها است. در واقع نظریه‌یمجموعه‌های فازی یک تعمیم و گسترش طبیعی نظریه‌ی مجموعه‌های معمولی است که موافق با زبان و فهم طبیعی انسان‌ها نیز می‌باشد. در نظریه مجموعه‌های معمولی، عضویت یک عنصر به مجموعه قطعی است. فرض کنید Xیک مجموعه‌ی مرجع باشد. زیرمجموعه‌یA ازX عبارتست از عناصری از Xکه دقیقاً مشخص شده باشند. زیرمجموعه‌ی Aرا می‌توان با بهره گرفتن از مفهوم تابع مشخصه بیان کرد.
تعریف:فرض کنیدX یک مجموعه‌ی مرجع دلخواه باشد، تابع مشخصه‌ی هر زیرمجموعه‌ی معمولیA ازX، به صورت زیر تعریف می‌شود:

با توجه به تعریف فوق، برای هر ، تنها یکی از مقادیر۰ یا ۱ را خواهد گرفت. تعریف: اگر برد تابع را از مجموعه‌ی دو عضوی}۱, ۰{ به بازه]۱, ۰ [توسعه دهیم، تابعی خواهیم داشت که به هر عضو ازX، عددی را در بازه‌ی]۱, ۰ [نسبت می‌دهد. اکنون Aدیگر یک مجموعه‌ی معمولی نیست؛ بلکه چیزی است که آن را یک مجموعه‌ی فازی می‌نامیم. به طوردقیق‌تر، Aزیرمجموعه‌ی فازی از X است.
درتعریف فوق اگر ، آنگاه در مورد عضویت به A با عدم قطعیت مواجه خواهیم بود. در حقیقت در این‌جا به نوعی، مفهوم عضویت یک عنصر را گسترش داده‌ایم.
تعریف: فرض کنید یک زیرمجموعه‌ی فازی باشد. هرگاه ۱= آنگاه را نرمال گوییم. در غیر اینصورت را زیرنرمال گوییم.
هر مجموعه‌ی فازی زیرنرمال را می‌توان با تقسیم بر ارتفاع ، نرمال کرد.
اگر عنصری از باشد که ۵/۰= ، آنگاه را یک نقطه‌ی گذرمعبر گوییم.
تعریف:فرض کنیدXمجموعه‌ای ناتهی باشد؛ هر زیرمجموعه‌ی فازی از X توسط یک تابع عضویت ، مشخص می‌شود که در آن برای هر ، مقدار در بازه‌ی[۱, ۰ [میزان عضویت را در نشان می‌دهد. نزدیکی مقدار به عدد یک نشانه‌ی عضویت بیشتر عنصر به مجموعه‌ی و نزدیکی آن به صفر نشان دهنده‌ی عضویت کمتر به مجموعه‌ی می‌باشد.
تعریف:فرض کنید کهXیک مجموعه‌ی مرجع و یک زیرمجموعه‌ی فازی از آن باشد. مجموعه نقاطی از X که برای آن نقاط ، تکیه گاه نامیده شده و با SUPP نشان داده می‌شود. یعنی
تعریف:فرض کنید X یک مجموعه‌ی مرجع و یک زیرمجموعه‌ی فازی از آن باشد. ارتفاع را که بزرگ‌ترین مقدار تابع عضویت است با( ) hgt نشان می‌دهیم و به صورت زیرتعریف می‌شود:
مثال۱–فرض کنید زیرمجموعه‌ی فازی «اعداد نزدیک به صفر» باشد؛
الف) تابع عضویت می‌تواند به صورت ، باشد. با توجه به تابع عضویت آن، عضوهای۰ و۲ به میزان ۱= و به زیرمجموعه فازی تعلق دارند.
شکل۲-۱ نمودارتابع عضویت مجموعه‌ی « اعداد نزدیک به صفر» برای مثال ۱
۰

۱
ب) تابع عضویتی به صورت زیر معرفی شود:

براساس این تابع عضویت، اعداد ۰ و۲ به ترتیب به میزان۱ و ۰ به مجموعه‌ی تعلق دارند.
۱۰۱-
۱

X
شکل ۲-۲ نمودارتابع عضویت مجموعه‌ی«اعداد نزدیک به صفر» برای مثال ۲
۲-۶-۱ نمایش زیر مجموعه ی فازی
یک مجموعه‌ی فازی بر خلاف مجموعه‌های کلاسیک، به هر عضو درجه‌ای از عضویت به یک مجموعه را تخصیص می‌دهد. برای نمایش یک زیرمجموعه‌ی فازی روش‌های مختلفی رایج است. روش متداول برای توصیف یک زیرمجموعه‌ی فازی به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب به صورت می‌باشد. هنگامی که X یک مجموعه متناهی(یا نامتناهی) به صورت گسسته باشد، یک زیرمجموعه‌ی فازی بصورت
و یا به شکل
نشان داده می‌شود.
در رابطه فوق منظور از علامت +، اجتماع است نه جمع جبری. همچنین نماد علامت تقسیم نبوده و نشانگر آن است که عدد بالایی ، درجه‌ی عضویت عنصر پایینی x است.
هنگامی که x یک مجموعه پیوسته باشد از نماد زیر استفاده می‌شود:
که در آن منظور از علامت ، اجتماع است.
قرارداد: دربعضی از موارد و برای اختصار، بجای می‌نویسیم .
مثال۲– فرض کنید یک زیرمجموعه فازی از X را می‌توان بصورت زیر معرفی کرد:

۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱
۱
۵/۰

موضوعات: بدون موضوع  لینک ثابت


فرم در حال بارگذاری ...