در واقع این بیضی­ها که بیضی­های acce ptance نامیده می­شوند به ازای هر فاز اولیه، مقادیر اولیه قابل قبول برای مکان یون و سرعت یون را نشان می­ دهند تا یون بتواند به دام بیفتد.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

همچنین این بیضی­ها توزیع مکان و سرعت یون را در فازهای مختلف میدان نشان می­ دهند. از روی این توزیع­ها می­توان انرژی جنبشی میانگین و سرعت میانگین و تغییرات آن­ها را با زمان محاسبه کرد.
بیضی­ها نه تنها حدود مقادیر اولیه قابل قبول برای و را مشخص می­ کنند بلکه مقادیر قابل قبول در هر لحظه از نوسان یون را نیز وقتی میدان در فاز مشخص قرار دارد، مشخص می­ کنند. دینامیک فضای فاز روش مؤثری در مطالعه ابر یونی سرد نشده (uncooled) است.
وقتی (a,q) منجر به یک مسیر ناپایدار شوند، نقاط محاسبه شده برای مکان و سرعت در فضای فاز روی یک هذلولی قرار می­گیرند.
در رابطه (۲-۷۹)، emittance بیضی نامیده می­ شود و برای تمام فازهای اولیه یکسان است. و از πs/ به­دست می ­آید که s مساحت هر بیضی است.
علاوه بر این رابطه زیر برقرار است:
(۲-۸۰)
و پارامترهای A و B و Γ به فاز اولیه وابسته­اند و جهت­گیری بیضی را طبق رابطه زیر معین می­ کنند:
(۲-۸۱)
همچنین پارامترهای A و B و Γ به مقادیر a_u و q_u نیز وابسته اند.
در واقع می­توان گفت پارامترهای بیضی به عناصر ماتریس M وابسته­اند و داریم:
(۲-۸۲)
همچنین را می­توان از روی عناصر M محاسبه کرد. برای هر فاز مشخص Γ، وابستگی
ماکزیمم دامنه حرکت یون به مکان اولیه را نشان می­دهد و B وابستگی آن را به سرعت اولیه و A وابستگی آن را به هر دو مقدار اولیه نشان می­دهد.
شکل (۲-۷) نمونه ­ای از بیضی را در فضای فاز نشان می­دهد. در این شکل ابعاد بیضی بر حسب مقادیر A و B و Γ و ε مشخص شده است.
برای هر مجموعه مقادیر داده شده A و B و Γ به ازای فاز اولیه داده شده، جابجایی بیشینه ممکن را می­توان طی یک سری مسیر بی­نهایت طولانی از معادله زیر محاسبه کرد:
(۲-۸۳)
که ε را با داشتن شرایط اولیه از معادله (۲-۷۹) می­توان محاسبه کرد. B_max بیشینه مقدار B بدون در نظر گرفتن فاز خواهد بود.
در واقع از حل معادله (۲-۷۹) مقدار بیشینه جابجایی u_max و سرعت را برای هر فاز داده شده می­توان به صورت زیر به­دست آورد:
(۲-۸۴)
یعنی به طور خلاصه برای فازهای اولیه مختلف، ماتریس مرتبط با مکان و سرعت را بعد از یک سیکل کامل RF می­توان محاسبه کرد. سپس بیشینه مقدار جابجایی ممکن را برای هر ترکیبی را مکان و سرعت اولیه می­توان محاسبه کرد.
۲-۵ مشخصات حرکت یون
جابجایی شعاعی و محوری یعنی u_r وu_z یک یون در دام پاول از معادله متی­یو به­دست می ­آید:
که و و
(۲-۸۵)
می­توان یک جواب پایدار از معادله را به دست آورد به شرط آنکه مقدار مشخصه حقیقی باشد.
(۲-۸۶)
که A_i و B_i از مکان اولیه و سرعت اولیه یون و همچنین فاز اولیه میدانRF تعیین می­شوند. ضرایب توسط رابطه زیر داده می­ شود:
(۲-۸۷)
که که با a_i و q_i، می­توان و را محاسبه نمود. مرز نواحی پایداری با β های صفر یا صحیح مطابقت دارد و ناحیه دوم پایداری با چهار خط و محدود می­ شود. مطابق شکل (۲-۸)، مقادیر (a,q) همچنین ولتاژ DC و RF اعمال شده برای ناحیه دوم بترتیب، تقریباً صد برابر و ده برابر بزرگتر از مقادیر متناظر در ناحیه اول است.
با تعریف و و و گرفتن می­توان از معادله (۲-۸۵) به­دست آورد:
(۲-۸۸)
(۲-۸۹)
با توجه به از معادلات (۲-۸۸) و (۲-۸۹) می­توان دید که حرکت یون برای دو ناحیه شامل دو مؤلفه خواهد بود حرکت سکولار به شکل نوسان هارمونیک با فرکانس مشخصه است و حرکات ریز که از ترکیب چندین مؤلفه با فرکانس اصلی Ω و ضرایبی از آن ۲,۳ n= تشکیل شده است. دامنه­های آنها با فرکانس مدوله شده است. دو مؤلفه، مقدار ، تعداد مؤلفه­ های قابل ارزیابی و وزن آنها، به شدت به مقادیر a_i و q_i بستگی دارد.
بنابراین این پارامترها با توجه به ناحیه، همچنین با توجه به نقطه کار در یک ناحیه و با توجه به محوری یا شعاعی بودن حرکت برای نقطه کار یکسان متفاوت هستند.
تمام این پارامترها را می­توان با داشتن و تعیین کرد. چندین مقدار و با توجه به مقادیر a_i و q_i در ناحیه دوم در مقایه با ناحیه اول می­توان بدست آورد. برای ۱q <<، a در ناحیه اول، می­توان فرض کرد که و از ضرایب درجه بالاتر(n>1) صرفنظر کرد.
پس معادلات (۲-۸۸) و (۲-۸۹) به صورت زیر در می­آیند:
(۲-۹۰)
(۲-۹۱)
با و
معادلات (۲-۹۰) و (۲-۹۱) با حرکت سکولار و حرکت ریز در تقریب شبه پتانیل یکسان است. برای مقادیر داده شده a و q و و و مسیر یون را می­توان مستقیماً از رابطه (۲-۸۶) یا با انتگرال­گیری به­دست آورد.
مکانیزم محصورسازی یون­ها را می­توان به صورت فیزیکی این گونه شرح داد:
حرکت ریزمحوری، مستقیماً از نوسان اعمال شده که توسط میدان RF با فرکانس Ω ایجاد شده سرچشمه می­گیرد و دامنه­ آن به صورت تناوبی وقتی که اختلاف فاز بین نوسان یون و میدان RF تغییرات تناوبی پیدا می­ کند، به صورت تناوبی کاهش یا افزایش می­یابد. این تغییرات تناوبی اختلاف فاز، دقیقاً به حرکت یون در میدان RF که از نظر فضایی ناهمگن است، وابسته است و باعث مدولاسیون دامنه با فرکانس و بنابراین محصورسازی یون­ها با سرعت­هایی در یک بازه مشخص می­ شود. یونی که در میدان RF ناهمگن حرکت می­ کنند. فرکانس­های میدان شامل Ω و چندین nΩ را احساس می­ کند. چون ولتاژ RF اعمال شده برای ناحیه دوم خیلی بزرگتر است، بنابراین دامنه ریز حرکت افزایش یافته، تقریباً به مقداری برابر با دامنه حرکت اصلی سکولار می­رسد، که از مقادیر ضرایب درجات بالاتر آشکار است.
در حرکت اصلی سکولار محوری، یونی که با میدان RF با ولتاژ بالا بر هم کنش می­ کند تقریباً در هر دوره تناوب RF به طرف بالا و پایین مرکز دام حرکت می­ کند، اما جابجایی و زمان عبور در ناحیه طی یک تناوب RF برابر نیست و این به خاطر ناهمگن بودن میدان الکتریکی است که باعث جابجایی مرکز حرکت و یک نیروی بازگرداننده به سمت مرکز دام می­ شود.
۲-۶ روش انتگرال­گیری مستقیم:
معادلات دیفرانسیل معمولی در بسیاری از مسائل کاربرد دارند. یک معادله دیفرانسیل از مرتبه P، در حالت کلی به صورت زیر است:
(۲-۹۲)
و منظور از حل، پیدا کردن تابع y=y(x) است که در معادله فوق صدق می­ کند. در درس معادلات دیفرانسیل وقت زیادی صرف تجزیه و تحلیل و یادگیری فنون و روش­های تحلیلی برای به دست آوردن جواب آن­ها می­ شود. این کار با دسته­بندی کردن معادلات صورت می­گیرد و نشان داده می­ شود که دسته خاصی از معادلات را می­توان به روش تحلیلی حل کرد. اما همانند وجود تابع اولیه برای توابع، معادلات دیفرانسیل فراوانی وجود دارند که نمی­ توان به روش­های تحلیلی موجود جواب آنها را به­دست آورد. حتی در مواقعی که می­توان جواب تحلیلی معادلات را به­دست آورد، این جواب ممکن است دارای فرم پیچیده­ای باشد. مثلاً جواب معادله دیفرانسیل زیر: