پاسخ شخص S به سوالi (0 یا ۱)

X_is

سطح صفت برای شخص

θ_s

دشواری سوال i

β_i

قوه تمیز سوال i

_iα

مجانب پائین (حدس زدن) برای سوال i

γ_i

پارامترهای سه مدل لوجستیک تک بعدی به وسیله مجموعه ­ای از داده ­های بزرگ شرح داده می­ شود. مدل های لوجستیک سوال پاسخ بر توزیع منطقی (لوجستیک) استوارندکه احتمال پاسخ را به صورت یک عبارت ساده تعیین می کند.
مدل منطقی (لوجستیک) یک پارامتری (۱PL)
در معادله ‏۳‑۱، مدل راش احتمال موفقیت شخص s در سوال i (یعنی (X_is=1)P) را پیش ­بینی می­ کند.

معادله ‏۳‑۱: مدل راش

مدل راش همچنین به عنوان مدل لوجستیک یک پارامتری (۱PL) توصیف می­ شود زیرا فقط شامل یک پارامتر سوال است. شکل ‏۳‑۱ منحنی­های ویژگی سوال^[۱۳] (ICC) برای سه سوال از مدل راش را نشان می­دهد.
شکل ‏۳‑۱: منحنی های ویژگی سوال از مدل لوجستیک یک پارامتری.
در مدل راش، منحنی ویژگی سوال دارای چند ویژگی است. نخست، در هر سوال، احتمال­ها به همراه سطح صفت به تدریج افزایش می­یابند. دوم، سوال­ها فقط از نظر دشواری متفاوتند. منحنی­ها شیب یکسان دارند. منحنی­ها همگرا هستند اما یکدیگر را قطع نمی­کنند. سوم، نقطه عطفICC، یعنی جایی که نرخ تغییر از حالت شتاب به حالت کندی گرایش پیدا می­ کند در جایی رخ می­دهد که احتمال پاسخ درست ۵۰ درصد است. در هر سه منحنی خطوط نشانگر که سطح صفت را نشان می­ دهند کشیده شده ­اند. خطوط نشانگر از سطح صفت که برابر با سطح دشواری است به گونه ­ای رسم شده ­اند که منحنی ویژگی سوال را در نقطه­ای قطع کنند که با احتمال ۵۰ درصدِ پاسخ درست برابر است. این معادله سبب می­ شود که سطح صفت به عنوان سطح آستانه دشواری سوال تفسیر شود. برای مثال، در مورد سوالی که سطح دشواری برابر ۱ دارد، احتمال اینکه شخصی با توانایی برابر ۱ به آن پاسخ درست بدهد ۵۰ درصد است.
مدل منطقی (لوجستیک) دو پارامتری (۲PL)
در مدل دو پارامتری، پارامتر ضریب تشخیص یا قوه تمیز نیز افزوده می­ شود. در این صورت احتمال اینکه شخص s به سوال i پاسخ درست بدهد در معادله ‏۳‑۲ نشان داده شده است.

معادله ‏۳‑۲:مدل دو پارامتری

پارامتر قوه تمیز که با علامت معرفی شده است، تفاوت سوال­ها را از نظر ضریب تشخیص نشان می­دهد. بنابراین، مدل دو پارامتری برای مقیاس­هایی که سوال­های آن­ها معادله یکسانی با صفت مکنون ندارند مناسب است. یا از جهت دیگر، سوال­ها به طور یکسان جایگاه شخص را روی پیوستار صفت مکنون نشان نمی­دهند. شکل ‏۳‑۲ منحنی­های ویژگی سه سوال از نوع مدل دو پارامتری را نشان می­دهد. اگر چه سطح دشواری این سوال­ها با سطح دشواری سوال­هایی که پیش از این توصیف شد یکسان است، قوه تمیز آن­ها متفاوت است.
شکل ‏۳‑۲: منحنی های ویژگی سوال از مدل لوجستیک دو پارامتری.
همانطور که در شکل ‏۳‑۲ ملاحظه می­کنید که منحنی ویژگی سوال ۲ منحنی­های سوال ۱ و ۳ را قطع می­ کند. همچنین ملاحظه می­ شود که سطح دشواری سوال در مدل دو پارامتری همچنان سطحی از صفت را نشان می دهد که در آن احتمال موفقیت ۵۰ درصد است. سطح دشواری سوال­های مدل دو پارامتری تا اندازه­ای با سطح دشواری سوال­های مدل راش متفاوت است و این تفاوت از تفاوت قوه تمیز سوال­ها ناشی می­ شود. با کاهش قوه تمیز سوال­ها، سطح دشواری آن­ها به شدت افزایش می­یابد.
مدل منطقی (لوجستیک) سه پارامتری (۳PL)