همان طور که قبلا دیدیم نقاط تناوبی برای ، را براورده می کنند. این معنی می دهد که سگمنت های خطی^[۵۳] به وجود آمده با تحلیل گرافیکی عاقبت به ( , ) روی قطر برمی گردند که به یک مجرای^[۵۴] بسته در تحلیل گرافیکی منجر می شود. شکل ۳ – ۶ الف نشان می دهد که یک چرخه دوگانه می پذیرد همچنان که توسط مربع تولید شده توسط تحلیل گرافیکی تشریح داده شده است. شکل ۳ – ۶ ب نشان می دهد که چرخه های زیادی به این چرخه ^[۵۵]تمایل دارند. این چرخه های دوگانه به طور صریح می توانند محاسبه شوند.

شکل ۳ – ۶ الف : تحلیل گرافیکی تابع [۲۴]
شکل ۳ – ۶ ب : تحلیل گرافیکی تابع [۲۴]
ما نمی توانیم رفتار همه چرخه ها را به وسیله تحلیل گرافیکی متوجه بشویم. به عنوان مثال در شکل (۳ – ۷ ) تحلیل گرافیکی برای تابع به کار برده شده است. توجه کنید چه طور چرخه پیچیده شده است .
شکل ۳- ۷ : تحلیل گرافیکی تابع [۲۴]
تحلیل گرافیکی بعضی وقت ها به ما اجازه می دهد تا رفتار همه چرخه های سیستم دینامیکی را توصیف کنیم. به عنوان مثال تابع را در نظر بگیرید. نمودار F نشان می دهد که سه نقطه ثابت در ۰، ۱ و ۱- وجود دارند . این ها راه حل هایی از تابع یا هستند. تحلیل گرافیکی این تابع به این نتایج می رسد: اگر پس چرخه به صفر گرایش دارد همان طور که در شکل ۳ – ۸ – الف رسم شده است. به عبارت دیگر اگر پس چرخه به تمایل دارد همان طور در شکل ۳ – ۸ – ب نشان داده شده است [۲۴].

(ب) (الف )
شکل ۳ – ۸ : تحلیل چرخه ای تابع برای (الف): و (ب): [۲۴]
باید تایید کنیم که تحلیل گرافیکی به هیچ وجه یک ابزار خیلی دقیق نیست در بسیاری از موارد نمی توانیم از تحلیل گرافیکی به عنوان یک دلیل که پدیده های دینامیکی مشخصی اتفاق می افتداستفاده کنیم.
۳ – ۶ نمودار فازی
یک روش مختصر برای شرح دادن همه چرخه ها ی سیستم های دینامیکی نمودار فازی سیستم است. در موارد یک بعدی نمودار فازی به ما اطلاعات بیشتری نسبت به تحلیل گرافیکی نمی دهد. در دو بعد موقعی که تحلیل گرافیکی ممکن نیست ما به نمودار فازی اعتماد می کنیم تا رفتار چرخه را توصیف کنیم.
در نمودار فازی نقاط نقاط ثابت را با نقطه هایی جامد^[۵۶] و دینامیکی در طول یک صف نشان می دهیم. به عنوان مثال همچنان که ما در بالا دیدیم برای نقاط ثابت در ۰و اتفاق می افتند. اگر ، پس درحالی که اگر ، . نمودار فازی برای تابع در زیر نشان داده شده است.
۳ – ۹ : نمودار فازی تابع [۲۴]
به عنوان مثال دیگر دو نقطه ثابت در ۰و ۱ و یک نقطه سرانجام نقطه ثابت در ۱- دارد. توجه کنید اگر پس و همه نقاط بعدی چرخه مثبت هستند. نمودار فازی تابع در شکل ۳ – ۱۰ نشان داده شده است [۲۴].
شکل ۳ – ۱۰ : نمودار فازی تابع [۲۴]
۳ – ۷ محاسبات نقاط ثابت
تابع خطی با و با را در نظر بگیرید. هر تابع یک نقطه ثابت در ۰ دارد اما این نقطه ثابت برای A جذب کننده^[۵۷] و B دفع کننده^[۵۸] است. تحلیل گرافیکی این تابع به طور واضح در شکل ۳ – ۱۱ نشان داده است [۲۴].
(ب) (الف)
شکل ۳ – ۱۱ : تحلیل گرافیکی ( الف ) تابع و ( ب) تابع و [۲۴].
اکنون همین تابع ها را این بار با و در نظر بگیرید. دوباره تحلیل گرافیکی نشان می دهد ( شکل ۳ – ۱۲ ) که A یک نقطه ثابت جذب کننده در صفر دارد و B یک نقطه ثابت دفع کننده در صفر دارد.
( ب ) (الف)
شکل ۳ – ۱۲ : تحلیل گرافیکی تابع (الف ) و ( ب) و [۲۴]
به طور واضح شیب خط مستقیم یک نقش قاطع در تعیین آیا تابع خطی یک نقطه ثابت جذب کننده یا دفع کننده دارد بازی می کند.
محاسبات به ما اجازه خواهد داد تا بین نقاط ثابت جذب کننده و دفع کننده برای تابع های غیر خطی فرق قائل شویم ، مشتق به ما شیب خط مماس به نمودار تابع a را می دهد. به ویژه نزدیک نقطه ثابت اگر ما نمودار تابع را به دقت بررسی کنیم مقدار اولین مشتق به ما می گویید چه طور نمودار قطر را در این نقطه قطع می کند که به یک تعریف مهم منجر می شود:
تعریف : فرض کنید یک نقطه ثابت برای است. اگر ، یک نقطه ثابت جذب کننده است. اگر نقطه نقطه ثابت دفع کننده است. سرانجام اگر نقطه ثابت خنثی^[۵۹] یا بی اثر^[۶۰] نامیده می شود[۲۴].
هندسه معقول برای این روش شناسی به وسیله تحلیل گرافیکی به کار رفته است . گراف شکل های ۳ – ۱۳ – الف و ب را در نظر بگیرید. هر دوی این تابع ها نقطه ثابت در دارند. شیب خط مماس در ، در هر دو مورد مقدارش کمتر از ۱ است: .
شکل ۳ – ۱۳ : در هر دو مورد نقطه ثابت جذب کننده است [۲۴]
شکل ۳ – ۱۴ : نمودار فازی ممکن نزدیک یک نقطه ثابت جذب کننده (الف): (ب): [۲۴]
اگر مانند شکل ۳ – ۱۳ – ب باشد چرخه از یک طرف به طرف دیگر آن می پرد همچنان که به نزدیک می شود. نمودار فازی در دو مورد و در شکل ۳ – ۱۴ رسم شده است. از طرف دیگر اگر تحلیل گرافیکی نشان می دهد که نزدیک نقطه چرخه هایی دارد که دورتر می شوند یعنی دفع کننده هستند. دوباره اگر چرخه ها همان طور که از یک سمت به سمت دیگر دور می شوند نوسان می کنند که در شکل ۳ – ۱۵ نشان داده شده است. همان طور که قبلا گفته شد نمودار فازی ( شکل ۳ – ۱۶ ) نشان می دهد که چه طور نزدیک چرخه ها در این مورد دفع شده اند [۲۴].
شکل ۳ – ۱۵ : در هر دو مورد نقطه ثابت دفع کننده است [۲۴].
شکل ۳ – ۱۶ : نمودار فازی اطراف یک نقطه ثابت دفع کننده [۲۴] .
شکل ۳ – ۱۷ : تابع یک نقطه ثابت جذب کننده در و یک نقطه ثابت دفع کننده در صفر دارد [۲۴]
به عنوان یک مثال، تابع را در نظر بگیرید. به طور واضح ۰ و نقاط ثابت برای هستند. که داریم بنابراین و . بنابراین صفر نقطه ثابت دفع کننده است در حالی که جذب کننده است.تحلیل گرافیکی این را تایید می کند، همچنان که در شکل ۳ – ۱۷ نشان داده شده است.
توجه کنید که اگر ممکن است چند نوع متفاوت از نمودار فازی داشته باشیم همان طور که در شکل ۳ – ۱۸ نشان داده شده است.در همه موارد نقطه ثابت جذب کننده است [۲۴].
شکل ۳ – ۱۸ : نموار فازی نزدیک ۰ برای (الف) تابع ، (ب) تابع ، (ج) تابع . در همه موارد و [۲۴]
۳ – ۸ نقاط دوره ای
مثل نقاط ثابت نقاط دوره ای ممکن است همچنین به عنوان جذب کننده، دفع کننده یا خنثی طبقه بندی شوند. محاسبات اینجا پیچیده تر هستند.
اجازه دهید باز با یک مثال شروع کنیم، تابع یک چرخه جذب کننده از دوره دو با چرخه دارد . تحلیل گرافیکی در شکل ۳ – ۱۹ نشان می دهد که این چرخه باید جذب کننده باشد[۲۴].
شکل ۳ – ۱۹ : یک چرخه جذب کننده با تناوب دو برای [۲۴]
برای اینکه ببینیم چرا اینجوری است نمودار تابع را بررسی می کنیم. همچنان که در شکل ۳ – ۲۰ نشان داده شده است. توجه کنید که چهار نقطه ثابت دارد : در دو نقطه ثابت F و در دو نقطه تناوبی ۰و ۱-. توجه کنید که مشتق یعنی در هر دو نقطه ۰ و ۱- کاهش می یابد یعنی . نشان می دهد که این دو نقطه نقاط ثابت جذب کننده برای تکرار دوم هستند. یعنی تحت تکرار چرخه های نقاط نزدیک ۰ و ۱- به این نقاط همگراه می شوند [۲۴].
شکل ۳ – ۲۰ : نمودار تکرار دوم تابع [۲۴]
این ایده ها ما را تحریک می کند تا تعریف جذب کننده و دفع کننده چرخه را در یک مسیر طبیعی توسعه بدهیم. یک نقطه تناوبی با تناوب جذب کننده ( دفع کننده ) است اگر آن یک نقطه ثابت جذب کننده ( دفع کننده ) برای است. این سوال بلافاصله مطرح می شود که آیا چرخه های تناوبی می توانند شامل بعضی نقاط باشند که جذب کننده هستند و بعضی که دفع کننده هستند. همان طور که ما در زیر خواهیم دید محاسبات می گوید که این مورد نیست. برای اینکه تعیین کنیم که آیا نقطه تناوبی با دوره جذب کننده یا دفع کننده است ما باید مشتق در محاسبه کنیم. به خاطر داشته باشید که ، امین تکرار از است نه امین توان از . می بینیم که این نیاز دارد که از قانون زنجیری استفاده کنیم. از محاسبات می فهمیم که اگر و تابع های دیفرانسیلی باشند مشتق ترکیبشان به صورت زیر است:
( ۳ – ۳ )
به ویژه:
( ۳ – ۴ )
و
( ۳ – ۵ )
قانون زنجیره ای^[۶۱] در طول یک چرخه : فرض کنید در یک چرخه با تناوب برای با قرار می گیرند.پس رابطه ( ۱ – ۶ ) توجه کنید که این فرمول ها به ما می گویند که مشتق در به سادگی تولید مشتق همه نقاط در چرخه است. این معنی می دهد که ما مجبور نیستیم ابتدا فرمول را برای محاسبه کنیم. ما نیاز داریم پیدا کنیم مشتق را و سپس جایگزین کنیم در به ترتیب و همه این اعداد را در هم ضرب کنیم [۲۴].
۳ – ۹ انشعاب در معادلات ریاضی
در این بخش مطالعه خانواده کوادراتیک از تابع های را شروع می کنیم که ثابت است. در حالی که این تابع به اندازه کافی ساده به نظر می رسد خواهیم دید دینامیک آن به طور شگفت انگیزی پیچیده است. به راستی رفتار آن ها هنوز به طور کامل قابل فهم برای مقدار مشخصی نیست. دراینجا دو نوع مهم از انشعاب که در دینامیک اتفاق می افتد را معرفی می کنیم [۲۴].
۳ – ۱۰ دینامیک نقشه های کوادراتیک
در طول این قسمت اجازه می دهیم به خانواده ای از تابع های کوادراتیک دلالت کند. شماره یک پارامتر است – برای هر متفاوت ما یک سیستم دینامیکی متفاوت می گیریم.هدف این است بفهمیم با تغییر دینامیک های چگونه تغییر می کنند. به طور معمول وظیفه اولیه ما این است تا نقاط ثابت را پیدا کنیم. این نقاط ثابت توسط حل تابع کوادراتیک بدست می آیند:
( ۳ – ۶ )
که منجر می شود به دو ریشه :
( ۳ – ۷ )
( ۳ – ۸ )