(۳-۶)

(۳-۷)

(۳-۸)

۳-۲-۱-۲-۲٫ تشریح تابع هدف و محدودیت‌ها
در معادله‌ی (۳-۱) که تابع هدف مدل نیز است، عبارت اول یعنی نشان‌دهنده‌ی مجموع هزینه‌های ثابت راه‌اندازی محور است. عبارت دوم یعنی مجموع هزینه‌های جمع‌ آوری جریان را نشان می‌دهد. عبارت سوم یعنی بیانگر مجموع هزینه‌های انتقال جریان است و در نهایت عبارت چهارم یعنی بیانگر مجموع هزینه‌های توزیع جریان در شبکه است. تابع هدف مدل جمع تمامی این عبارات را کمینه می‌کند.
معادله‌ی (۳-۲) بیانگر این است که هر گره یا خود محور است یا این که به یک محور تخصیص داده شده است. معادله‌ی (۳-۳) محدودیتی است که گره‌های غیر محور را تنها به محورهای عملیاتی تخصیص می‌دهد. معادله‌ی (۳-۴) محدودیت تعادل جریان در دو طرف معادله است. معادله‌ی (۳-۵) نامساوی مثلثی را برقرار می‌کند. معادله‌ی (۳-۶) ظرفیت جریان هر گره را محدود می‌کند. معادله‌ی (۳-۷) نشان‌دهنده‌ی ‌صفر و یکی بودن متغیر است و در نهایت معادله‌ی (۳-۸) ایجاب می‌کند که بایستی مقادیر مثبت را انتخاب کند.
۳-۲-۲٫ حالت قطعی تخصیص چندگانه‌ی ظرفیت محدود مسئله‌ی مکان‌یابی محور (CMAHLP)^[21]
در این بخش مدل قطعی تخصیص چندگانه‌ی ظرفیت محدود مسئله‌ی مکان‌یابی محور را معرفی می‌کنیم. همان طور که در فصول قبلی اشاره شد، هدف این مدل نحوه‌ی تخصیص تقاضای گره‌های غیر محور به محورهای ارتباطی و کمینه کردن هزینه‌های تحمیلی به شبکه‌ی محور است. در این مدل هر گره‌ی غیر محور تقاضای خود را تنها می‌تواند از طریق محورهای ایجادشده در شبکه، تأمین و از طریق ارتباط بین محورها به دیگر نقاط شبکه بفرستد. هیچ ارتباط مستقیمی بین گره‌های غیر محور وجود ندارد و هر گره می‌تواند به چند محور متفاوت متصل شود و در ضمن تمامی گره‌های ایجادشده در شبکه به یکدیگر وصل هستند، یعنی شبکه‌ی محور این مدل یک گراف کامل فرض شده است.
بر اساس این توضیحات، هزینه‌ی ارسال تقاضای هر گره‌ی غیر محور به محور اتصالی مربوط به خود، هزینه‌ی جمع‌ آوری نامیده می‌شود. تقاضای هر گره هنگامی که به محور مرتبط با آن گره فرستاده شد از طریق محور به دیگر محورهای شبکه که همگی به یکدیگر متصل هستند فرستاده می‌شود. این جابجایی و انتقال باعث تحمیل هزینه‌ای به شبکه می‌شود که از آن با نام هزینه‌ی انتقال یاد می‌شود. در نهایت تقاضای گره‌ی اولیه که به محور فرستاده شده بود و از محور هم به دیگر محورهای موجود در شبکه ارسال شده بود، اکنون از طریق ارتباطی که بین محورهای ایجادشده در شبکه وجود دارد در سراسر شبکه جریان می‌یابد و آزادانه در دیگر گره‌های غیر محور توزیع می‌شود. بنابراین هزینه‌ای که بابت پخش این جریان در شبکه به وجود آمده است، هزینه‌ی توزیع نامیده می‌شود.

هر محور بابت ایجاد آن در شبکه یک هزینه‌ی ثابتی دارد که بسته به حجم تقاضای ورودی و ارسالی آن در سراسر شبکه مقدارهای مختلفی به ازای هر محور به خود می‌گیرد. در نهایت مدل هزینه‌ای ثابت را نیز بابت راه‌اندازی و استقرار محورهای ایجادشده در نظر می‌گیرد که به آن هزینه‌ی ثابت راه‌اندازی محور گفته می‌شود. هدف مدل همان طور که گفته شد نحوه‌ی تخصیص گره‌های غیر محور به محورها و کمینه کردن مجموع این هزینه‌های ایجادشده در شبکه است.
۳-۲-۲-۱٫ نمادها و علائم بکار رفته در مدل ریاضی
در این بخش به معرفی مجموعه­ها، پارامترها و متغیرهای تصمیمی که در مدل‌سازی مسئله به کار گرفته‌شده‌اند، می­پردازیم.
۳-۲-۲-۱-۱٫ مجموعه‌ها
: مجموعه‌ی فاصله‌ها و جریان‌های بین گره‌های شبکه
(مجموعه‌های نیز از همین مجموعه داده انتخاب می‌شوند).
۳-۲-۲-۱-۲٫ پارامترها
: هزینه‌ی ثابت راه‌اندازی برای ایجاد محور در گره‌ی .
: فاصله‌ی گره‌ی غیر محور از محور . فرض می‌کنیم که یعنی نامساوی مثلثی برقرار است.
: فاصله‌ی ‌محور از محور .
: فاصله‌ی ‌محور از گره‌ی غیر محور .
: تقاضای ارسالی از گره‌ی غیر محور به گره‌ی غیر محور .
: مجموع جریان‌هایی که مبدأ آن‌ها گره‌ی‌ است. ().
: ضریب کاهشی هزینه‌ی جمع‌ آوری به ازای واحد جریان و به ازای واحد فاصله .
: ضریب کاهشی هزینه‌ی توزیع به ازای واحد جریان و به ازای واحد فاصله .
: ضریب کاهشی هزینه‌ی انتقال به ازای واحد جریان و به ازای واحد فاصله‌ی بین محورها. فرض می‌کنیم که این ضریب از هر دوی ضریب‌های هزینه‌ی جمع‌ آوری و توزیع کوچک‌تر است.
: ظرفیت جریان هر محور .
۳-۲-۲-۱-۳٫ متغیرهای تصمیم‌گیری

اگر گره‌ی به عنوان محور انتخاب شود.

در غیر این صورت