4-1)

a_i = ضرایب مجهول ریتز
f_i = توابع ریتز
نکته مهم این است که توابع (f_i) باید به گونه ای انتخاب شوند که شرایط مرزی را ارضا نمایند. دلیل این شرط ساده در توابع آزمون این است که شرایط مرزی طبیعی به طور ضمنی در تابع منظور شده اند.
در روش عناصر محدود، توابع (f_i)، در واقع همان توابع شکل^[78] هستند که در ماتریس درون یابی تغییر مکان^[79] جای می گیرند. در روش عناصر محدود، ضرایب مجهول (a_i)، در واقع همان تغییرمکان های تعمیم یافته مجهول گرهی هستند، که در U جای می گیرند. در روش عناصر محدود تابع آزمون یا متغیرهای حالت، همان توابع تغییر مکان تعمیم یافته درون هر عنصر می‌باشند.
4-5-1-1- معايب استفاده از روش تحليل ریتز
توابع ریتز در كل ناحية مورد نظر تعريف مي‌شوند. بنابراين در تحليل رايج ریتز ، ماتريس K يك ماتريس كامل است و با توجه به استفاده از توابع زيادتر، عمليات عددي مورد نياز براي حل معادلات جبري حاصل قابل توجه مي‌باشند .
يك دشواري خاص در تحليل رايج ریتز انتخاب توابع مناسب ریتز است ، زيرا جواب تحليل ، يك تركيب خطي از اين توابع مي‌باشد .
دشواري ديگر در تحليل رايج ریتز هنگامي پيش مي‌آيدكه كل ناحية مورد نظر از زير ناحيه‌هايي با انواع مختلف توزيع كرنش تشكيل شده باشد.
4-5-2- روش گالرکین^[80] به عنوان يك روش باقيمانده وزن دار
روش گالرکین یک روش عددی است که برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل بکار می رود. این روش روی معادله دیفرانسیل عمل می کند )نه روی تابع انرژی پتانسیل کلی(.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

تحلیل یک مساله حالت پایا را با بهره گرفتن از فرمول بندی دیفرانسیلی زیر در نظر می گیریم:

4-2)

L عملگر دیفرانسیلی^[81] (بالاترین مرتبه مشتق در آن m2 است)
متغیر حالت
r= تابع نیرویی^[82]
به ازای جواب دقیق، باقیمانده مذکور صفر است (R=0)
یک تقریب مطلوب به جواب کامل می تواند به طور ضمنی دلالت بر این نکته نماید که R در تمام نقاط میدان حل، باید کم ترین مقدار باشد. هر یک از روش های متنوع باقیمانده وزن دار، الگوریتم های مختلفی را برای مینیمم سازی R ارائه می‌دهند.
تفاوت روش‌های متنوع باقیمانده وزن دار( از جمله روش گالرکین، روش کم ترین مربعات، روش زیرمیدان، روش هم مکان در معیارهایی نهفته است که آن روش‌ها برای محاسبه a_i به کار می برند به گونه‌ای که R کمینه شود.
در روش گالرکین با مینیمم سازی R ، پارامترهای a_i از n معادله زیر تعیین می‌شوند:
که در آن D میدان جواب است.

4-3)

i=1,2,…..,n

بنابراین در روش گالرکین یک دستگاه معادلات خطی بر حسب پارامترهای a_i ایجاد می شود.
4-5-3- مقایسه روش ریتز و روش گالرکین
الف) در روش ریتز روی تابع عمل می نماییم، در حالی که در روش گالرکین روی معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله عمل می نماییم.
ب) در روش ریتز توابع آزمون باید m بار مشتق پذیر باشند. در حالی که در روش گالرکین توابع آزمون باید m2 بار مشتق پذیر باشند، زیرا بالاترین مرتبه مشتق در معادله دیفرانسیل از مرتبه m 2 است.
ج) در روش ریتز توابع آزمون باید تنها شرایط مرزی اساسی را تامین نمایند، در حالی که در روش گالرکین توابع آزمون باید تمامی شرایط مرزی اساسی و طبیعی را ارضا نمایند. روش‌هاي فوق در واقع پایه اصلي روش‌هاي نوين عناصر محدود را فراهم مي‌آورند.
د) روش عناصر محدود يك روش عددي براي گسسته‌سازی مدل ریاضی پیوسته به مدل ریاضی گسسته (تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلات جبری) است.
4-6- حوزه کاربردهای روش عناصر محدود
الف) هیدرودینامیک و هیدرولیک: برای تحلیل جریان های سطح آزاد، جریان های لزج، مسائل لایه مرزی و جریان های آئرودینامیکی کاربرد دارد.
ب) انتقال حرارت: برای تحلیل انتقال گرما در حالات پایا و ناپایا در جامدات و سیالات کاربرد دارد.